возник вопрос. должен ли данный ребёнок быть зарегистрирован (polizailich gemeldet) в квартире, которая приналежит родителям и сдаётся ребёнку студенту.

Зачем полицайлих? Прописка в Мелдеамте делается, по месту жительства. Что значит ребенок студент? Ему меьше 18? Какая разница кому квартира принадлежит? Прописка - это где человек проживает, а своя это квартира, родителей или чужих людей - это в данном случае роли не играет.

Вопрос о налогах родителей, не о регистрации. Polizailich gemeldet просто устаревшее выражение.

если родители берут с дитяти плату, то они имеют доход, которых подлежит декларированию
а нет - так нет
независимо от того, "прописано" дитя или нет