Только что прошел испытательный срок и тут предложили новую, более высокую должность.
Неужели теперь будет новый контракт и снова пол года испытательного срока?
Насколько нормально предложение оставить старый контракт, изменив только название должности и , возможно, зарплату?

новый контракт будет без испытательного срока (Я правильно ведь понимаю, что должность на том же предприятии?)

Да

Нового контракта не будет. Да, могут вписать испытаельный срок... Но для этого нужно очень веское основание. Смена отдела, кардинальная смена профиля. на 100% уверен, что это не имеет быть места.
Для суда критично в первую очередь сколько ты работаешь. и если эта цифра больше 6 мес, то уже все, уволить тебя просто так уже нельзя. Так что радуйся!