В которых можно поискать квартиру

газеты Stuttgarter Wochenblatt (по четв. бесплатно по домам разносят), Spermüll (по средам, кажется, выходит).
Сайты quoka.de (объявления из Spermüll дублируются + бесплатные)
swsg.de - для них, если я правильно помню, нужен ПМЖ

Сайты по поиску квартир:
www.immobilienscout24.de
www.immowelt.de
www.immonet.de
www.quoka.de
www.kijiji.de
Onlinemarkt-Stuttgart.de/Wohnung
stuttgart.wohnung.net
www.local24.de
Kооперативы Штутгарта:
www.bgc-cannstatt.de
www.bgneuesheim.de
www.bg-muenster.de
www.lbg-online.de
www.gwf-stuttgart.de
www.baugenossenschaft-feuerbach-weilimdorf.de
www.bauundheim.de
www.bg-friedenau.de
www.bwv-stuttgart.de
www.gagfah.de/eigenebude
www.gwg-gruppe.de
www.lbbw-immobilien.de

О даже по районам! Круто, спасибо!)
Какие из них лучше не обживать?)

Сугубо индивидуально - кто-то хочет центр, кто-то - окраину.В каждом конкретном случае нужно смотреть предлагаемый дом и окрестности.