Если именно в Штутгарт переезжать хотите, то для начала думаю стоит узнать в Arbeitsagentur (если я правильно назвала это учреждение, выплачивающее ALG II) , какую стоимость квартиры они максимально оплачивают. Потом попытаться найти квартиру, стоимость съема, которой не выходит за рамки суммы, выдаваемой агентурой на оплату жилья. На сколько мне известно, так называемые "социальные" квартиры, в Штутгарте имеют возможность получить только люди, прожившие в этом городе не менее трех лет. Поэтому думаю, найти более менее не дорогую квартиру в Штуттгарте, будет не так легко. Но, кто знает, может у вас получится Наверное в близ лежащих не больших городках, найти квартиру будет легше, хотя уверять не буду.
Когда найдете приемлемое жилье, поставите Antrag на ALG II .
Это моя теоретическая версия, конкретных примеров в кругу знакомых, переехавших сюда, находясь на пособии, у меня нет

из собств. опыта могу эту посоветовать: http://www.allbecon.de/bewerber?gclid=CLOioYa2mI0CFRK6XgodyD9P1g