Искала информацию по конкретно моему случаю, но еще больше запуталась...

Вряд ли хорошо искали.

Читайте здесь (состоянием ровно год назад).
https://groups.germany.ru/arch/showmessage.pl?Number=32426...
И свежие особенности здесь.
https://groups.germany.ru/354710/f/33645833.html?Cat=&page...

1.Мой внутренний гражданский паспорт 6 лет как просрочен. Подозреваю, что могут возникнуть проблемы при оформлении пмж?

Могут.

Знает ли кто - можно его продлить , не выезжая в Украину?

Продлить = вклеить фото? Нет. Скорее придется делать на месте. Вполне возможно, что уже не вклеивают, а выдают новые ID-карты взамен.

Но точно не скажу, смотрите на сайте ДМС.

https://dmsu.gov.ua/

2.Можно ли выписаться из квартиры на Украине через посольство?

Если бы. Тогда бы и группу можно было закрывать, наверное :)

или все-таки необходимо делать это лично

Нет, по доверенности можно тоже, но если нет совсем близких людей - решать вам, стоит или рисковать или нет.

и непосредственно по месту жительства?

Смотря, что понимается под "местом жительства".

Spoiler: в вашем случае - это не Горловка, нет.

Могут ли не смотря на это потребовать справку из налоговой?

Компетентность украинских (и не только) бюрократов сильно варьируется от кабинета к кабинету.

В теории могут попросить совершенно любую справку, но пока вроде не просили ни у кого.

НО! я из Горловки (Донецкая обл.) - в силу обстоятельств, не представляю как...

Сочувствую. Но в любом случае в Горловку ехать, хоть и можно, но не совсем нужно: даже если предположить, что местные органы власти вас выпишут, то думаю консульство Украины сильно обалдеет от полученной справки :))

Если без шуток - читайте первую ссылку, там всё описано от первого лица.