В C# так-же как и в Java чтобы знать равна строка нужно использовать метод Equals. Если написать так:

using System;
public class Program {
  public static void Main(string[] args) {
  String строка = "Миша";        
  if(строка.Equals("Миша") == true)
    Console.WriteLine("Да, это миша");
  else 
    Console.WriteLine("Нет, это не миша");
  if(строка.ToLower().Equals("миша") == true)
    Console.WriteLine("Да, это миша");
  else 
    Console.WriteLine("Нет, это не миша");
  }
}

То результат такой:

Да, это миша
Да, это миша

А если же вот так написать:

using System;
public class Program {
  public static void Main(string[] args) {
  String строка = "миша";        
  if(строка.Equals("Миша") == true)
    Console.WriteLine("Да, это миша");
  else 
    Console.WriteLine("Нет, это не миша");
  if(строка.ToLower().Equals("миша") == true)
    Console.WriteLine("Да, это миша");
  else 
    Console.WriteLine("Нет, это не миша");
  }
}

То результат такой:

Нет, это не миша
Да, это миша