Ну так и быть, покритикую. Время есть немного.

Hiermit bewerbe ich mich initiativ in ihrer Firma.

ИМХО. Это писать не нужно, из заголовка йсно, что это уже Initiativbewerbung. Правда, не йасно длйа цхего ещё слово Bewerbung там?

Ich suche eine Stelle alsChemielaborantin.

Нудно как то. Тогда лучше заряжай по классике: Hiermit bewerbe ich mich bei Ihnen als Chemielaborantin.

Sollten Sie in naher Zukunft oder jetzt eine dienstleistungsorientierte und motivierte Mitarbeiterin als Chemielaborantin suchen,
bewerbe ich mich gerne heute für eine solche Arbeitsstelle.

Странно. Получается, что если у них появится работа, то тебе опять нужно будет писать Bewerbung? Сформулируй так, чтобы они имели под рукой твой Bewerbung, если появится вакансия, соответствующая твоим данным.

Nach einer langen und erfolgreichen Sportkarriere möchte ich wieder in meinen Beruf einsteigen.

В качестве кого было бы неплохо упомянуть, хоть и стоит в Lebenslauf.

Gerne bin ich auch bereit Neues zu lernen.

Да это и ежу понятно. Должна даже будешь.

Ich arbeite genau und präzis, entweder selbständig oder nach Anweisung.

Другие значит работают не точно, не самостоятельно, или под руководством, но не самостоятельно. Беспонтовое предложение.

Ich kann mich einerseits gut in einem Team einordnen, andererseits aber auch gut selbständig arbeiten.

Опять упоминаешь самостоятельность. Да и вообще предложение выкини.

Ich arbeite genau und präzis, entweder selbständig oder nach Anweisung. Ich kann mich einerseits gut in einem Teameinordnen, andererseits aber auch gut selbständig arbeiten. Mein Umgang mit Menschen iststets höflich und freundlich.

Выкини этот абзатз вообще. А то стыдно уже за тебя.

Wenn ich Sie überzeugen konnte,

Нет, не смогла убедить. Опозорилась по самые нихочу только.

Als Beilage sende ich Ihnen meine Bewerbungsunterlagen

Так ты весь этот текст для E-Mail писала или что, так это значит не Anschreiben?

Für Rückfragen stehe ich gerne per eMail oder telefonisch zur Verfügung undfreue mich von Ihnen zu hören.

В инете есть более крутые формулировки, поищи.