В первую очередь успокойтесь

Это не необходимость, а Ваше право. Ровно такое же право, как и оформление разрешения на выезд на ПМЖ по доверенности на территории Украины.

Видимо, мадам сама неудовлетворённая, поэтому и делает такие заявления
Поэтому, глубоко вдохните и...
1. Распечатываете эту страничку, а также все четыре нормативно-правовых документа, ссылки на которые приведены в конце этой страницы. Для печати рекомендую воспользоваться функцией печати в правом верхнем углу страницы, т.к. некоторые из этих документов состоят из нескольких страниц;
2. В распечатках выделяете маркером следующие места:
- в распечтке с сайта ГМСУ: разделы "Як отримати послугу" (о подаче заявления в ДМС), "Подача заяви" (о возможности подаче заявления законными представителями, в т.ч. по доверенности), "Підстави для відмови у наданні послуги";
- в законе Украины "Про порядок виїзду з України і в'їзду в ...: пункт 1 статьи 4 (абзац об оформлении загранпаспорта "громадянам України, які постійно проживають в Україні і досягли 18-річного віку");
- в "Положенні про паспорт громадянина України для виїзду за кордо...: пункт 3 (абзац об оформлении загаранпаспорта "громадянам України, що досягли 18-річного віку і постійно проживають в Україні", для закрепления информации из предыдущего пункта );
- в Правилах оформлення і видачі паспорта громадянина України ...: пункт 2 (абзац об оформлении и выдаче паспорта гражданам Украины, "які постійно проживають в Україні") и пункт 10, начиная со слов "Для оформлення паспорта у разі виїзду на постійне проживання за кордоном додатково подаються: ...". Также советую этот документ распечатать полностью (он там на двух страницах);
- в Порядку провадження за заявами про оформлення паспортів ... в разделе "Повноваження щодо прийняття рішень за заявами про оформлення паспорта/проїзного документа": первый абзац пункта 16 про "осіб, які проживають на території адміністративного обслуговування і виїжджають за кордон на [...] постійне проживання". Этот документ также распечатайте полностью.
Все эти документы вместе у сказанными на сайте ГМСУ и с письменным(!) заявлением с просьбой о разрешении на выезд на ПМЖ можете ещё раз попробовать подать лично. Если и на этот раз откажутся принимать, засылаете весь пакет документов заказным письмом с уведомлением и просьбой о принятии решения в срок, установленный статьёй 5 закона Украины "Про порядок виїзду з України і в'їзду в ....

Верно, он не требуется. Возможно, они хотят убедиться в том, что у Вас не менялась фамилия.
Можете поинтересоваться законным основанием этого требования в своём письменном заявлении об оформлении разрешения на выезд на ПМЖ.

Ваше личное присутствие не требуется, см. выше.
Момент про оба паспорта имеет место быть и проблема при этом возникает именно в загранпаспорте. Но для начала можно предоставить копию всех его страниц, а уже потом, когда ГМСУ даст добро на выезд на ПМЖ, приехать самой с загранпаспортом и получить в него печать о ПМЖ, т.к. он необходим ГМСУ только для этого. Здесь на форуме уже так делали.
Если без загранпаспорта откажутся принимать документы, можно будет тогда оформить второй загранпаспорт непосредственно для выезда на ПМЖ, аргументировав это необходимостью постоянно иметь заграпаспорт при пребывании за границей:

После получения разрешения на выезд на ПМЖ первый паспорт нужно будет сдать:


Ага, то есть, возможность оформления ПМЖ в/на Украине по доверенности всё же существует?..