Правильно ли я понимаю, для "залишення на постійне місце проживання" сначала в консульство нужно подать доки согласно Порядка? Потом только после получения консульских уведомления и разрешения на ПМЖ, ехать в Украину - сниматься с регистрации, проставлять штампик ГМС? Затем снова делать термин в консульстве для подачи новых доков?

Да.

И если в Украине делать нотариальные заверения родителей об отсутствии материальных претензий, то такие заявления действильтельны только 6 месяцев?

Нет. Этот документ не имеет срока годности и действует до его отозвания.

Если я сдам загран в консульстве, я же смогу в августе в Италию с NE только съездить ? В позапрошлом году нас развернули на Хорвацкой границе без паспорта

Хорватия не входит в Шенгенскую зону, поэтому там существует пограничный контроль. Тем не менее, NE не является документом, удостоверяющим личность, и потребовать загранпаспорт у Вас могут и в пределах Шенгенской зоны. Впрочем, сдавать загранпаспортв консульство нужно будет лишь при получении на руки нового, а не при подаче заявления на него.